La livebox est un routeur.
C'est elle qui se conencte à internet, que vous ayez votre PC allumé ou pas (c'est nécessaire pour le téléphone par exemple).
Ensuite, lorsque vous démarrez votre PC, vous vous connctez au routeur et comme bon routeur, elle transfère les flux de/vers internet pour vous.
De même, si vous débranchez la ligne téléphonique (ne le faites pas !!), vous continuez à pouvoir communiquer avec la livebox via son interface de configuration par exemple. mais là, biens sûr, plus d'internet. mais si vous avez plusieurs PC connectés à la livebox, même dans ce cas, ils peuvent toujours communiquer entre-eux.
Jean-Luc