L'IP fixe n'apporte rien en stabilité. Elle est juste indispensable pour établir des routes statiques, ce que l'on appelle le routage NAT.
Pour imager mon propos, avoir une IP automatique (DHCP), c'est comme si vous changiez d'adresse postale tous les jours. Si le facteur veut vous livrer un colis, il ne sera pas où le livrer n'ayant pas votre dernière adresse. Avoir une IP fixe reviendrait à avoir une adresse postale fixe, à partir de là le facteur sera où livrer son colis. Le facteur réprésente un utilisateur X sur Internet et le colis un paquet réseau qu'il voudrait vous transmettre.
Pour comprendre un peu mieux le routage sur la Livebox vous pouvez aller : > ici <
Et pour configurer une IP fixe : > ici <