La table de routage me semble un peu bizarre.
Les deux cartes ethernet ont une IP en 192.168.1.x ? J'ai une installation similaire, et pour éviter les confusions j'ai utilisé 192.168.2.* pour le sous-réseau interne. Cela dit, ça doit pouvoir marcher quand même.
Normalement il faudrait avoir des règles du type :
faire passer les requêtes à 192.168.1.1 par eth0
faire passer les requêtes à 192.168.1.* par eth1
créer une route par défaut envoyant tout le reste vers l'extérieur en utilisant la Livebox comme passerelle.
Si j'interprète bien ta table, les deux dernières règles sont bonnes mais la première concerne tout le sous-réseau 192.168.1.* au lieu de créer un simple lien entre ton linux et la Livebox. Et donc les paquets pour 192.168.1.* ont une règle passant par eth0 et une autre passant par eth1.
Je n'ai pas mon ordi sous les yeux mais de mémoire il faudrait plutot quelquechose du type :
route add -host 192.168.1.1 eth0 (ou "dev eth0", je ne sais plus)
(après avoi enlevé la route globale passant par eth0 évidemment)